2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间:120分钟 满分150分) 一、(本题满分50分) 如图,在锐角△ABC中,AB 2. 空间四点A、B、C、D,满足 、 、 、 ,则 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 1. 使关于x的不等式 有解的实数k的最大值是 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点,则 的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面α与对角线AC'垂直,使α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则 A. S是定值,l不是定值 B. S不是定值,l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程 表示的曲线是 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 记集合 , ,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是 A. B. C. D. 二、填空题 7. 将多项式 表示为关于y的多项式 ,且 ,则 =__________。 8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 成立,则实数a的取值范围是_____________。 一、选择题 1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,则a、b、c、d四个数( ). A.必全为正实数 B.至少有一个负数 C.有且只有一个负数 D.以上都不对 2.已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C,对应边长为a、b、c,记,则( ). A. B. C. D. 3.三个正实数a、b、c满足a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,下列说法正确的是( ). A.以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形 B.以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形 C.以a、b、c为边长的三角形必为锐角三角形 D.不存在以a、b、c为边长的三角形 4.由不全相等的正数xi(i=1,2,…,n)形成n个数:,,…,,,关于这n个数,下列说法正确的是( ). A.这n个数都不大于2 B.这n个数都不小于2 C.至多有n-1个数不小于2 D.至多有n-1个数不大于2 5.已知三个正实数a、b、c满足a2+b2=c2·n是大于1的正整数,记当m>n(m为正整数)时,有( ). A.f(m)>f(n) B.f(m)<f(n) C.f(m)=f(n) D.f(m)≥f(n) 6.设a、b、c、d都是正实数,下列三个不等式: a+b<c+d, ① (a+b)(c+d)<ab+cd, ② (a+b)cd<ab(c+d). ③ 其中能同时成立的不等式至多有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 7.已知f(x)=x2+bx+c.若|f(1)|<.|f(2)|<,则f(3)的取值范围为_____________. 8.实数a、b、c、d同时满足下列三个条件. ①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c. 则a、b、c、d的大小顺序为_____________. 9.已知x、y、z均为实数,且,则|xyz|的最小值为__________. 10.已知a、b、c是某三角形三边的长.记p=(a2+b2+c2)2,q=2(a4+b4+c4),则p与q的大小关系为________________. 11.用max{a,b,c}表示a、b、c三数中的最大者.若,,,其中x、y为正实数,,则max{a,b,c}=___________. 12.设△ABC三边长为a、b、c,且a+b+c=2,则a2+b2+c2+2abc与2的大小关系为________. 三、解答题 13.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),三个正数p、q、r满足p+q+r=1,三个实数x1、x2、x3互不相等.求证: pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3). 14.已知x,y,z∈R,且x+y+z=0. 求证:6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3. 15.记p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2),当a=b=c>0或a=b>0,c=0时,都有p≥0. 求证:当a、b、c为任意三角形三边长时,有p≥0. 参考答案 一、选择题 1.由a+b=c+d=1,得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc, ∴ad+bc=1-(ac+bd)<0. 故a、b、c、d中至少有一个负数,当a=-1,b=2,c=-2,d=3时满足题意,故选B. 2.由a<b+c,得2a<a+b+c. 同理,. ∴故选B. 3.由题设得 ∴, ∴c>a. 而, ∴a+b>c.故a、b、c是某一三角形三边的长. ,故选A. 4.∵, ∴这n个数之和可写成 由于xi(i=1,2,…,n)不全相等, 因此故A错. 取xi=i(i=1,2,…,n)知B错, 取xi=i+1(i=1,2,…,n)知C错.故应选D. 事实上,取,x2=x3=…=xn=1,满足D. 5.由a2+b2=c2设a=ccosθ,b=csinθ, 则, 先比较f(n)与f(n+1)的大小; ∵[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1) =(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n>(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n =(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1) (∵,∴), ∴f(n)>f(n+1). ∴f(n)>f(n+1)>f(n+2)>…>f(m), 故选B. 6.当cd≤ab时, 若①成立,则, 即③成立. 假设此时②成立,则有 (a+b)2<(a+b)(c+d)<ab+cd≤2ab. ∴,矛盾. 故①、③成立时,②一定不成立. 当cd>ab时, 若③成立,则,∴①成立. 假定此时②成立,由③得 ∴,矛盾. 即③成立时,②必不成立. 综上,①、②、③中至多有2个成立,故选C. 二、填空题 7. ∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8. =f(1)+2f(2)-2f(1)+2 =2f(2)-f(1)+2. 由, 8.由③得0<d-c<b-a,∴a<b. 由②得2a<a+b=c+d<2d,∴a<d. 由③得b-d=c-a>0,∴b>d. ∴a、b、c、d四数的大小顺序为a<c<d<b. 9.设,,,则a+b+c=1,且,, ∴, 当且仅当x2=y2=z2=2时,取“=”号. ∴,即|xyz|的最小值为 10.q-p=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2 =(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2 =(a2+b2-c2)2-(2ab)2 =[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2] =(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)<0. ∴q<p. 11. 同理 设,当0<t1<t2时, ∴f(t1)<f(t2), 即f(t)在(0,+∞)上为增函数. 由知1<tanθ<tan2θ, ∴f(1)<f(tanθ)<f(tan2θ), 即a<b<c. ∴max{a,b,c}=c. 12.a2+b2+c2+2abc-2 =(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2 =2(1-ab-bc-ca+abc). ∵∴0<a<1. 同理,0<b<1,0<c<1, ∴(1-a)(1-b)(1-c)>0. ∴a2+b2+c2+2abc<2. 三、解答题 13.pf(x1)+qf(x2)+rf(x3) ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3) =apq(x1-x2)2+apr(x1-x3)2+aqr(x2-x3)2>0. ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3). 14.设x=rcosθ,y=rsinθ, 则z=-r(cosθ+sinθ). 当r=0时,原不等式显然成立; 当r≠0时,原不等式等价于证明 6[cos3θ+sin3θ-(cosθ+sinθ)3]2≤[cos2θ+sin2θ+(sinθ+cosθ)2]3, 即证25sin32θ+15sin22θ-24sin2θ-16≤0, 即证(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0. 此不等式显然成立,∴原不等式得证. 15.当a=b=c>0时,; 当a=b>0,c=0时, (1)当λ≥0时, p=λ(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) (2)当λ<0时, p=λ(a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) =λ[(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2]+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) =λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2). ∴p≥0. 3、不等式>0的解集是 ( ) A.[2,3] B。(2,3) C。[2,4] D。(2,4) [答案]C 你去买一套《天利38套》的单元专项训练,上面都是各个省份的卷子,算是好题。 或者《十年高考》,全是高考题,这上面的都是一些相当经典的方法,就连我们的老师都自愧不如, 设 f(x)是满足下列条 件的函数: (1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ,则存在实数 z∈[y , x],使得f(z) = ω - z ; (2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解,并在该方程的解中存 在一个解不大于所有其它的解; (3) f(0) = 1 ; (4) f(-1999) ≤ 2000 ; (5) f(x)f(y) = f[xf(y) + yf(x) + xy] ; 求 f(-1999) 的值 已知条件很多,直接和所求结果密切相关的只有条件(4),由于条件(4)为f(—1999)≤2000,若我们还能推导f(-1999)≥2000,则f(-1999)的值就只能为2000,这是这种构造性题目的共同点. 解: 令 F(x) = f(x) + x,则根据条件(3)有, F(0) = f(0) + 0 = 1 由条件(2),可设 m 是f(x) = 0 的最小根,则F(m) = m ① 首先证明这里的最小值 m 是正值,证明如下: 假如m < 0,则对于 ω = 0,由条件(1)及 F(0)≥ω≥F(m) 也就是: 1 = f(0) + 0 = F(0)≥ω≥F(m) = f(m) + m = m 得到 存在 z ∈[m,0],使得 F(z) = ω = 0 根据条件(5)可知 0 = f(z)* 0 = f(z)f(m) = f[z f(m) + m f(z) + zm] = f[m (f(z) + z)] = f[m F(z)] = f[m F(z)] = f(0) = 1 显然0≠1,这是因为假设m < 0而导致的矛盾,所以,m > 0 接上面的①式继续, 对于任意实数 x,因为m 是f(x) = 0 的最小根,由条件(5)有 0 = f(x)f(m) = f[x f(m) + u f(x) + xm] = f[m (f(x) + xm)] 所以, f(x) + xm 一定是方程f(x) = 0 的实根 ② 而上面的①中假设 m 是f(x) = 0 的最小根 所以 mf(x) + xm ≥m 从而,f(x) + x ≥ 1 即f(x)≥1 - x 所以 f(-1999)≥2000 考虑到条件(4)中的 f(-1999)≤2000 所以 f(-1999) = 2000 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C ) A 不存在 B 存在 C 存在 D 对任意的 2、 的定义域为 , 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B ) A.3 B. C.2 D. 3、、等差数列 的通项公式是 ,其前 项和为 ,则数列 的前10项和为( A ) A.75 B.70 C.120 D.100 4、已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为 外心,动点P满足 ,则P的轨迹定过 的( D ) A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点 5、若 是偶函数,则点( )的轨迹方程( B ) 6、定义在 上的偶函数 ,满足 ,且 在 上是减函数.下面五个关于 的命题中,命题正确的个数有( C ) ① 是周期函数;② 的图像关于 对称;③ 在 上是减函数; ④ 在 上为增函数;⑤ . (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5分) 7、已知集合A={—1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m的值是 4 . 8、在三角形ABC中,若 ,则该三角形的最大内角等于 . 9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 . 10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 ,若 则角C的大小为 11、若 为 的各位数字之和,如 , ,则 ;记 , ,…, , ,则 11 . 12、若数列{an}的通项公式an= ,记 ,试通过计算 , , 的值,推测出 = . 13、对于函数 ,在使 ≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数 的“上确界”,则函数 的“上确界”为 2 . 14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点,且截直线 所得的弦长为 ,则满足条件的一组参数 和 的值可以是 . 15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 . 16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样 来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出 ,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 c .(填入 中的某个字母) 三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本题满分12分)设命题 函数 是 上的减函数,命题 函数 在 的值域为 .若“ 且 ”为假命题,“ 或 ”为真命题,求 的取值范围. 解:由 得 ………………………………………………3分 ,在 上的值域为 得 …………… 7分 且 为假, 或 为真 得 、 中一真一假. 若 真 假得, ……………………………9分 若 假 真得, . ………………………………………………11分 综上, 或 . ………………………………………………12分. 18(本小题满分12分)在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,面积为 . (1) 求函数 的解析式和定义域; (2) 求 的最大值. 解:(1) 的内角和 ………………………1分 ……………4分 …………………6分 (2) ……………8分 …………11分 当 即 时,y取得最大值 ………………………12分 19(本小题满分13分)已知函数 的定义域为 ,值域为[5,4];函数 . (Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x. 解:f(x)=a(1-cos2x)- sin2x+b =-a(cos2x+ sin2x)+a+b=-2a sin(2x+ )+a+b . ----------------------------2分 ∵x∈ ,∴2x+ ,sin(2x+ ) . 显然a=0不合题意.--------3分 (1) 当a>0时,值域为 ,即 -----------------------------5分 (2) 当a<0时,值域为 ,即 6分 (Ⅰ) 当a>0时,g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5; 当a<0时,g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2), ∴ T=, g(x)max= . 8分 (Ⅱ)由上可知, 当a>0时, 由g(x)=5sin(x1),且tan1= , g(x)max=5,此时x1=2k + (k∈Z). 则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, ),∴tanx=cot 1= . 10分 当a<0时, g(x)max= <5,所以不存在符合题意的x. 12分 综上,tan x=- . ------------------------------------------------------------------------------------13分 20(本题满分13分)已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ,且m•n . (1)求向量n; (2)若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ,向量b =( ),其中A,C是△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|n+ b|的取值范围. (1)解:设 ,由 ,得 ----------------------------------------2分 ∵向量 与向量 的夹角为 , 又∵ ∴ ,则 ---------------------4分 解得 或 ∴ 或 ----------6分 (2)解:由向量 与向量 的夹角为 ,可知 由2B=A+C知B= ,A+C= ,0<A< --------------------8分 若 ,则 --------------------10分 ∵0<A< , <2A< ∴ , , ----------------12分 ∴ ----------------13分 21(本题满分15分)某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:① 与 和 的乘积成正比;②当 , ;③ 其中 为常数,且 . (1)设 ,求出 的表达式,并求出 的定义域; (2)求出附加值 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 的值 解:(1)设 . 由 , ,得:k=4. 于是, .---- ------3分 解关于x的不等式: ,得0≤x≤ .---- ------5分 ∴函数的定义域为 , 为常数, .---- ------7分 (2) . 当 ;---- ------9分 当 上为增函数,故当 .---- ------11分 故 时,投入 时,附加值 最大为 万元;---- ------13分 当 时,投入 时,附加值 最大为 万元---- ------15分 22(本题满分15分)设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y) (Ⅰ)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性; (Ⅱ)数列{an}满足a1=f(0),且 ①求{an}通项公式。 ②当a>1时,不等式 对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围。 解:(Ⅰ) 时,f(x)>1 令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1 ∴f(0)=1 …………………………2分 若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故 故x∈R f(x)>0 …………………………………4分 任取x1<x2 故f(x)在R上减函数 …………………………6分 (Ⅱ)① 由f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分 是递增数列 …………13分 当n≥2时, …………………14分 而a>1,∴x>1 故x的取值范围(1,+∞) ……………………15分 求几道高中数学竞赛题
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2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间:120分钟 满分150分) 一、(本题满分50分) 如图,在锐角△ABC中,AB 2. 空间四点A、B、C、D,满足 、 、 、 ,则 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 1. 使关于x的不等式 有解的实数k的最大值是 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点,则 的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面α与对角线AC'垂直,使α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则 A. S是定值,l不是定值 B. S不是定值,l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程 表示的曲线是 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 记集合 , ,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是 A. B. C. D. 二、填空题 7. 将多项式 表示为关于y的多项式 ,且 ,则 =__________。 8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 成立,则实数a的取值范围是_____________。 一、选择题 1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,则a、b、c、d四个数( ). A.必全为正实数 B.至少有一个负数 C.有且只有一个负数 D.以上都不对 2.已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C,对应边长为a、b、c,记,则( ). A. B. C. D. 3.三个正实数a、b、c满足a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,下列说法正确的是( ). A.以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形 B.以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形 C.以a、b、c为边长的三角形必为锐角三角形 D.不存在以a、b、c为边长的三角形 4.由不全相等的正数xi(i=1,2,…,n)形成n个数:,,…,,,关于这n个数,下列说法正确的是( ). A.这n个数都不大于2 B.这n个数都不小于2 C.至多有n-1个数不小于2 D.至多有n-1个数不大于2 5.已知三个正实数a、b、c满足a2+b2=c2·n是大于1的正整数,记当m>n(m为正整数)时,有( ). A.f(m)>f(n) B.f(m)<f(n) C.f(m)=f(n) D.f(m)≥f(n) 6.设a、b、c、d都是正实数,下列三个不等式: a+b<c+d, ① (a+b)(c+d)<ab+cd, ② (a+b)cd<ab(c+d). ③ 其中能同时成立的不等式至多有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 7.已知f(x)=x2+bx+c.若|f(1)|<.|f(2)|<,则f(3)的取值范围为_____________. 8.实数a、b、c、d同时满足下列三个条件. ①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c. 则a、b、c、d的大小顺序为_____________. 9.已知x、y、z均为实数,且,则|xyz|的最小值为__________. 10.已知a、b、c是某三角形三边的长.记p=(a2+b2+c2)2,q=2(a4+b4+c4),则p与q的大小关系为________________. 11.用max{a,b,c}表示a、b、c三数中的最大者.若,,,其中x、y为正实数,,则max{a,b,c}=___________. 12.设△ABC三边长为a、b、c,且a+b+c=2,则a2+b2+c2+2abc与2的大小关系为________. 三、解答题 13.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),三个正数p、q、r满足p+q+r=1,三个实数x1、x2、x3互不相等.求证: pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3). 14.已知x,y,z∈R,且x+y+z=0. 求证:6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3. 15.记p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2),当a=b=c>0或a=b>0,c=0时,都有p≥0. 求证:当a、b、c为任意三角形三边长时,有p≥0. 参考答案 一、选择题 1.由a+b=c+d=1,得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc, ∴ad+bc=1-(ac+bd)<0. 故a、b、c、d中至少有一个负数,当a=-1,b=2,c=-2,d=3时满足题意,故选B. 2.由a<b+c,得2a<a+b+c. 同理,. ∴故选B. 3.由题设得 ∴, ∴c>a. 而, ∴a+b>c.故a、b、c是某一三角形三边的长. ,故选A. 4.∵, ∴这n个数之和可写成 由于xi(i=1,2,…,n)不全相等, 因此故A错. 取xi=i(i=1,2,…,n)知B错, 取xi=i+1(i=1,2,…,n)知C错.故应选D. 事实上,取,x2=x3=…=xn=1,满足D. 5.由a2+b2=c2设a=ccosθ,b=csinθ, 则, 先比较f(n)与f(n+1)的大小; ∵[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1) =(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n>(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n =(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1) (∵,∴), ∴f(n)>f(n+1). ∴f(n)>f(n+1)>f(n+2)>…>f(m), 故选B. 6.当cd≤ab时, 若①成立,则, 即③成立. 假设此时②成立,则有 (a+b)2<(a+b)(c+d)<ab+cd≤2ab. ∴,矛盾. 故①、③成立时,②一定不成立. 当cd>ab时, 若③成立,则,∴①成立. 假定此时②成立,由③得 ∴,矛盾. 即③成立时,②必不成立. 综上,①、②、③中至多有2个成立,故选C. 二、填空题 7. ∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8. =f(1)+2f(2)-2f(1)+2 =2f(2)-f(1)+2. 由, 8.由③得0<d-c<b-a,∴a<b. 由②得2a<a+b=c+d<2d,∴a<d. 由③得b-d=c-a>0,∴b>d. ∴a、b、c、d四数的大小顺序为a<c<d<b. 9.设,,,则a+b+c=1,且,, ∴, 当且仅当x2=y2=z2=2时,取“=”号. ∴,即|xyz|的最小值为 10.q-p=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2 =(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2 =(a2+b2-c2)2-(2ab)2 =[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2] =(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)<0. ∴q<p. 11. 同理 设,当0<t1<t2时, ∴f(t1)<f(t2), 即f(t)在(0,+∞)上为增函数. 由知1<tanθ<tan2θ, ∴f(1)<f(tanθ)<f(tan2θ), 即a<b<c. ∴max{a,b,c}=c. 12.a2+b2+c2+2abc-2 =(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2 =2(1-ab-bc-ca+abc). ∵∴0<a<1. 同理,0<b<1,0<c<1, ∴(1-a)(1-b)(1-c)>0. ∴a2+b2+c2+2abc<2. 三、解答题 13.pf(x1)+qf(x2)+rf(x3) ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3) =apq(x1-x2)2+apr(x1-x3)2+aqr(x2-x3)2>0. ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3). 14.设x=rcosθ,y=rsinθ, 则z=-r(cosθ+sinθ). 当r=0时,原不等式显然成立; 当r≠0时,原不等式等价于证明 6[cos3θ+sin3θ-(cosθ+sinθ)3]2≤[cos2θ+sin2θ+(sinθ+cosθ)2]3, 即证25sin32θ+15sin22θ-24sin2θ-16≤0, 即证(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0. 此不等式显然成立,∴原不等式得证. 15.当a=b=c>0时,; 当a=b>0,c=0时, (1)当λ≥0时, p=λ(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) (2)当λ<0时, p=λ(a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) =λ[(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2]+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2) =λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2). ∴p≥0. 3、不等式>0的解集是 ( ) A.[2,3] B。(2,3) C。[2,4] D。(2,4) [答案]C 你去买一套《天利38套》的单元专项训练,上面都是各个省份的卷子,算是好题。 或者《十年高考》,全是高考题,这上面的都是一些相当经典的方法,就连我们的老师都自愧不如, 设 f(x)是满足下列条 件的函数: (1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ,则存在实数 z∈[y , x],使得f(z) = ω - z ; (2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解,并在该方程的解中存 在一个解不大于所有其它的解; (3) f(0) = 1 ; (4) f(-1999) ≤ 2000 ; (5) f(x)f(y) = f[xf(y) + yf(x) + xy] ; 求 f(-1999) 的值 已知条件很多,直接和所求结果密切相关的只有条件(4),由于条件(4)为f(—1999)≤2000,若我们还能推导f(-1999)≥2000,则f(-1999)的值就只能为2000,这是这种构造性题目的共同点. 解: 令 F(x) = f(x) + x,则根据条件(3)有, F(0) = f(0) + 0 = 1 由条件(2),可设 m 是f(x) = 0 的最小根,则F(m) = m ① 首先证明这里的最小值 m 是正值,证明如下: 假如m < 0,则对于 ω = 0,由条件(1)及 F(0)≥ω≥F(m) 也就是: 1 = f(0) + 0 = F(0)≥ω≥F(m) = f(m) + m = m 得到 存在 z ∈[m,0],使得 F(z) = ω = 0 根据条件(5)可知 0 = f(z)* 0 = f(z)f(m) = f[z f(m) + m f(z) + zm] = f[m (f(z) + z)] = f[m F(z)] = f[m F(z)] = f(0) = 1 显然0≠1,这是因为假设m < 0而导致的矛盾,所以,m > 0 接上面的①式继续, 对于任意实数 x,因为m 是f(x) = 0 的最小根,由条件(5)有 0 = f(x)f(m) = f[x f(m) + u f(x) + xm] = f[m (f(x) + xm)] 所以, f(x) + xm 一定是方程f(x) = 0 的实根 ② 而上面的①中假设 m 是f(x) = 0 的最小根 所以 mf(x) + xm ≥m 从而,f(x) + x ≥ 1 即f(x)≥1 - x 所以 f(-1999)≥2000 考虑到条件(4)中的 f(-1999)≤2000 所以 f(-1999) = 2000 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C ) A 不存在 B 存在 C 存在 D 对任意的 2、 的定义域为 , 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B ) A.3 B. C.2 D. 3、、等差数列 的通项公式是 ,其前 项和为 ,则数列 的前10项和为( A ) A.75 B.70 C.120 D.100 4、已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为 外心,动点P满足 ,则P的轨迹定过 的( D ) A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点 5、若 是偶函数,则点( )的轨迹方程( B ) 6、定义在 上的偶函数 ,满足 ,且 在 上是减函数.下面五个关于 的命题中,命题正确的个数有( C ) ① 是周期函数;② 的图像关于 对称;③ 在 上是减函数; ④ 在 上为增函数;⑤ . (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5分) 7、已知集合A={—1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m的值是 4 . 8、在三角形ABC中,若 ,则该三角形的最大内角等于 . 9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 . 10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 ,若 则角C的大小为 11、若 为 的各位数字之和,如 , ,则 ;记 , ,…, , ,则 11 . 12、若数列{an}的通项公式an= ,记 ,试通过计算 , , 的值,推测出 = . 13、对于函数 ,在使 ≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数 的“上确界”,则函数 的“上确界”为 2 . 14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点,且截直线 所得的弦长为 ,则满足条件的一组参数 和 的值可以是 . 15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 . 16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样 来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出 ,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 c .(填入 中的某个字母) 三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本题满分12分)设命题 函数 是 上的减函数,命题 函数 在 的值域为 .若“ 且 ”为假命题,“ 或 ”为真命题,求 的取值范围. 解:由 得 ………………………………………………3分 ,在 上的值域为 得 …………… 7分 且 为假, 或 为真 得 、 中一真一假. 若 真 假得, ……………………………9分 若 假 真得, . ………………………………………………11分 综上, 或 . ………………………………………………12分. 18(本小题满分12分)在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,面积为 . (1) 求函数 的解析式和定义域; (2) 求 的最大值. 解:(1) 的内角和 ………………………1分 ……………4分 …………………6分 (2) ……………8分 …………11分 当 即 时,y取得最大值 ………………………12分 19(本小题满分13分)已知函数 的定义域为 ,值域为[5,4];函数 . (Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x. 解:f(x)=a(1-cos2x)- sin2x+b =-a(cos2x+ sin2x)+a+b=-2a sin(2x+ )+a+b . ----------------------------2分 ∵x∈ ,∴2x+ ,sin(2x+ ) . 显然a=0不合题意.--------3分 (1) 当a>0时,值域为 ,即 -----------------------------5分 (2) 当a<0时,值域为 ,即 6分 (Ⅰ) 当a>0时,g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5; 当a<0时,g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2), ∴ T=, g(x)max= . 8分 (Ⅱ)由上可知, 当a>0时, 由g(x)=5sin(x1),且tan1= , g(x)max=5,此时x1=2k + (k∈Z). 则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, ),∴tanx=cot 1= . 10分 当a<0时, g(x)max= <5,所以不存在符合题意的x. 12分 综上,tan x=- . ------------------------------------------------------------------------------------13分 20(本题满分13分)已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ,且m•n . (1)求向量n; (2)若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ,向量b =( ),其中A,C是△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|n+ b|的取值范围. (1)解:设 ,由 ,得 ----------------------------------------2分 ∵向量 与向量 的夹角为 , 又∵ ∴ ,则 ---------------------4分 解得 或 ∴ 或 ----------6分 (2)解:由向量 与向量 的夹角为 ,可知 由2B=A+C知B= ,A+C= ,0<A< --------------------8分 若 ,则 --------------------10分 ∵0<A< , <2A< ∴ , , ----------------12分 ∴ ----------------13分 21(本题满分15分)某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:① 与 和 的乘积成正比;②当 , ;③ 其中 为常数,且 . (1)设 ,求出 的表达式,并求出 的定义域; (2)求出附加值 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 的值 解:(1)设 . 由 , ,得:k=4. 于是, .---- ------3分 解关于x的不等式: ,得0≤x≤ .---- ------5分 ∴函数的定义域为 , 为常数, .---- ------7分 (2) . 当 ;---- ------9分 当 上为增函数,故当 .---- ------11分 故 时,投入 时,附加值 最大为 万元;---- ------13分 当 时,投入 时,附加值 最大为 万元---- ------15分 22(本题满分15分)设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y) (Ⅰ)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性; (Ⅱ)数列{an}满足a1=f(0),且 ①求{an}通项公式。 ②当a>1时,不等式 对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围。 解:(Ⅰ) 时,f(x)>1 令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1 ∴f(0)=1 …………………………2分 若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故 故x∈R f(x)>0 …………………………………4分 任取x1<x2 故f(x)在R上减函数 …………………………6分 (Ⅱ)① 由f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分 是递增数列 …………13分 当n≥2时, …………………14分 而a>1,∴x>1 故x的取值范围(1,+∞) ……………………15分 求几道高中数学竞赛题
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