解:设售价定为x元。
﹙x-40﹚·[500-﹙x-50﹚×10]=8000
化简得:x²-140x+4800=0
﹙x-60﹚﹙x-80﹚=0
x1=80
x2=60
① 当售价定为80元/个时,
进货量: 500-﹙80-50﹚×10=200个
② 当售价定为60元/个时。
进货量: 500-﹙60-50﹚×10=400个。
积分。
计算过程请参考下图。 本例子以一元二次方程的计算为例,因式分解法:
6x=x(x+4),
6x-x(x+4)=0,
x(6-x-4)=0,
x(2-x)=0,
所以x1=0,或者x2=2。
1.一队伍长120米,现通讯员从队尾跑到排头又立即从排头跑回队尾,设在此过程中,队伍与通讯员均作匀速运动,且在这过程中队伍前进了160米,求通讯员往返所跑过的路程?
设通讯员的速度为x米/秒,队伍的速度为y米/秒,根据题意
120÷(x + y) + 120÷(x - y) = 160÷y
(2x + y)(x - 2y) = 0
x = 2y
就是说通讯员的速度是队伍速度的2倍。那么在相同的时间内,队伍行进了160米,所以通讯员行进了 160×2 = 320米。
答:通讯员往返所跑过的路程是320米。
2.某商品的原价a元,降价百分之二十后,销售额猛增,商品提价百分之十后,又提价百分之十,求此商品的价格。
解:降价百分之二十后价格=a*(1-20%)=0.8a
提价百分之十后价格=0.8a*(1+10%)=0.88a
又提价百分之十价格=0.88a*(1+10%)=0.968a
3.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段,每一段都围城一块正方形的菜地,要想围成的两块正方形菜地面积之和为100平方米,该怎么分?
解:设其中一段长为x米,则另一段长为56-x米,依题意有:
(x/4)^2+[(56-x)/4]^2=100
化简整理得:x^2-56x+768=0
解这个一元二次方程得:一个根为24,另一个根为32
所以只有一种分法:一段长为24米,则另一段长为32米;
4.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段,每一段都围城一块正方形的菜地,若想围成的两块正方形菜地的面积之和为200平方米,可能吗?
解:不可能,因为56/4=14,14^2=196平方米,也就是说,最大面积为196平方米,所以不可能。
5.从正方形铁皮上截去4cm宽的一条长方形,余下的面积是96cm^2,则原来正方形铁皮的面积为?
解:设正方形边长为x厘米。
x^2=96+4*x
x^2-4*x-96=0
(x-12)(x+8)=0
x1=12,x2=-8(舍)
正方形面积为 12*12=144 cm^2
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
[例题]
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
1、例题:x²-2x=0
变化:x²-2x+1=1
变化:(x-1) ²=1
变化:x-1=±1
解为:x=2 或 x=0
2、例题:x²-2x=4
变化:x²-2x+1=5
变化:(x-1) ²=5
变化:x-1=±√5
解为:x=1+√5 或 x=1-√5
3、例题:2x²-4x=4
变化:x²-2x+1=3
变化:(x-1) ²=3
变化:x-1=±√3
解为:x=1+√3 或 x=1-√3
4、例题:x²-4x=-4
变化:x²-4x+4=0 用配方法解一元二次方程练习题
1.用适当的数填空:
①、x2+6x+ =(x+ )2;
②、x2-5x+ =(x- )2;
③、x2+ x+ =(x+ )2;
④、x2-9x+ =(x- )2
2.将二次三项式2x2-3x-5进行配方,其结果为_________.
3.已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_______.
4.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为_______,所以方程的根为_________.
5.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对
6.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1
7.把方程x+3=4x配方,得( )
A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=21 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2
8.用配方法解方程x2+4x=10的根为( )
A.2± B.-2± C.-2+ D.2-
9.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值( )
A.总不小于2 B.总不小于7
C.可为任何实数 D.可能为负数
10.用配方法解下列方程:
(1)3x2-5x=2. (2)x2+8x=9
(3)x2+12x-15=0 (4) x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
(1)求2x2-7x+2的最小值 ;
(2)求-3x2+5x+1的最大值。
解:设售价定为x元。
﹙x-40﹚·[500-﹙x-50﹚×10]=8000
化简得:x²-140x+4800=0
﹙x-60﹚﹙x-80﹚=0
x1=80
x2=60
① 当售价定为80元/个时,
进货量: 500-﹙80-50﹚×10=200个
② 当售价定为60元/个时。
进货量: 500-﹙60-50﹚×10=400个。
积分。
计算过程请参考下图。 本例子以一元二次方程的计算为例,因式分解法:
6x=x(x+4),
6x-x(x+4)=0,
x(6-x-4)=0,
x(2-x)=0,
所以x1=0,或者x2=2。
1.一队伍长120米,现通讯员从队尾跑到排头又立即从排头跑回队尾,设在此过程中,队伍与通讯员均作匀速运动,且在这过程中队伍前进了160米,求通讯员往返所跑过的路程?
设通讯员的速度为x米/秒,队伍的速度为y米/秒,根据题意
120÷(x + y) + 120÷(x - y) = 160÷y
(2x + y)(x - 2y) = 0
x = 2y
就是说通讯员的速度是队伍速度的2倍。那么在相同的时间内,队伍行进了160米,所以通讯员行进了 160×2 = 320米。
答:通讯员往返所跑过的路程是320米。
2.某商品的原价a元,降价百分之二十后,销售额猛增,商品提价百分之十后,又提价百分之十,求此商品的价格。
解:降价百分之二十后价格=a*(1-20%)=0.8a
提价百分之十后价格=0.8a*(1+10%)=0.88a
又提价百分之十价格=0.88a*(1+10%)=0.968a
3.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段,每一段都围城一块正方形的菜地,要想围成的两块正方形菜地面积之和为100平方米,该怎么分?
解:设其中一段长为x米,则另一段长为56-x米,依题意有:
(x/4)^2+[(56-x)/4]^2=100
化简整理得:x^2-56x+768=0
解这个一元二次方程得:一个根为24,另一个根为32
所以只有一种分法:一段长为24米,则另一段长为32米;
4.某人将一条长为56m的竹篱笆分成2段,每一段都围城一块正方形的菜地,若想围成的两块正方形菜地的面积之和为200平方米,可能吗?
解:不可能,因为56/4=14,14^2=196平方米,也就是说,最大面积为196平方米,所以不可能。
5.从正方形铁皮上截去4cm宽的一条长方形,余下的面积是96cm^2,则原来正方形铁皮的面积为?
解:设正方形边长为x厘米。
x^2=96+4*x
x^2-4*x-96=0
(x-12)(x+8)=0
x1=12,x2=-8(舍)
正方形面积为 12*12=144 cm^2
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
[例题]
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
1、例题:x²-2x=0
变化:x²-2x+1=1
变化:(x-1) ²=1
变化:x-1=±1
解为:x=2 或 x=0
2、例题:x²-2x=4
变化:x²-2x+1=5
变化:(x-1) ²=5
变化:x-1=±√5
解为:x=1+√5 或 x=1-√5
3、例题:2x²-4x=4
变化:x²-2x+1=3
变化:(x-1) ²=3
变化:x-1=±√3
解为:x=1+√3 或 x=1-√3
4、例题:x²-4x=-4
变化:x²-4x+4=0 用配方法解一元二次方程练习题
1.用适当的数填空:
①、x2+6x+ =(x+ )2;
②、x2-5x+ =(x- )2;
③、x2+ x+ =(x+ )2;
④、x2-9x+ =(x- )2
2.将二次三项式2x2-3x-5进行配方,其结果为_________.
3.已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_______.
4.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为_______,所以方程的根为_________.
5.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对
6.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是( )
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1
7.把方程x+3=4x配方,得( )
A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=21 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=2
8.用配方法解方程x2+4x=10的根为( )
A.2± B.-2± C.-2+ D.2-
9.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值( )
A.总不小于2 B.总不小于7
C.可为任何实数 D.可能为负数
10.用配方法解下列方程:
(1)3x2-5x=2. (2)x2+8x=9
(3)x2+12x-15=0 (4) x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
(1)求2x2-7x+2的最小值 ;
(2)求-3x2+5x+1的最大值。