一、选择题
1.下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有( )
(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个
3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有( )
(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个
4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是( )
(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U
(C)A CUB= (D)CUA B=
5.已知集合A={ } B={ }则A =( )
(A)R (B){ }
(C){ } (D){ }
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{ }是有限集,正确的是( )
(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)
(C)只有(2) (D)以上语句都不对
7.已知A={1,2,a2-3a-1},B={1,3},A {3,1}则a等于( )
(A)-4或1 (B)-1或4 (C)-1 (D)4
8.设U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则(CUA) (CUB)=( )
(A){0} (B){0,1}
(C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4}
9.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S X=( )
(A)X (B)T (C) (D)S
10.设A={x },B={x },若A B={2,3,5},A、B分别为( )
(A){3,5}、{2,3} (B){2,3}、{3,5}
(C){2,5}、{3,5} (D){3,5}、{2,5}
11.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为( )
(A)R (B)
(C){ } (D){ }
(A)P Q
(B)Q P
(C)P=Q (D)P Q=
12.已知P={ },Q={ ,对于一切 R成立},则下列关系式中成立的是( )
13.若M={ },N={ Z},则M N等于( )
(A) (B){ } (C){0} (D)Z
14.下列各式中,正确的是( )
(A)2
(B){ }
(C){ }
(D){ }={ }
15.设U={1,2,3,4,5},A,B为U的子集,若A B={2},(CUA) B={4},(CUA) (CUB)={1,5},则下列结论正确的是( )
(A)3 (B)3
(C)3 (D)3
16.若U、 分别表示全集和空集,且(CUA) A,则集合A与B必须满足( )
(A) (B)
(C)B= (D)A=U且A B
17.已知U=N,A={ },则CUA等于( )
(A){0,1,2,3,4,5,6} (B){1,2,3,4,5,6}
(C){0,1,2,3,4,5} (D){1,2,3,4,5}
18.二次函数y=-3x2+mx+m+1的图像与x轴没有交点,则m的取值范围是( )
(A){ } (B){ }
(C){ } (D){ }
19.设全集U={(x,y) },集合M={(x,y) },N={(x,y) },那么(CUM) (CUN)等于( )
(A){(2,-2)} (B){(-2,2)}
(C) (D)(CUN)
20.不等式 (A){x } (B){x } (C){ x } (D){ x } 二、填空题 1. 在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为 2. 若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x= 3. 若A={x } B={x },全集U=R,则A = 4. 若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是 5. 集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ;非空真子集是 6. 方程x2-5x+6=0的解集可表示为 方程组 7.设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是 8.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13,17,19},又(CUA) (CUB)= ,则A B= 9.设U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则M N= M N= CUM= CUN= CU(M N)= 10.设全集为 ,用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。 (1) (2) (3) 三、解答题 1.设全集U={1,2,3,4},且={ x2-5x+m=0,x U}若CUA={1,4},求m的值。 2.已知集合A={a 关于x的方程x2-ax+1=0,有实根},B={a 不等式ax2-x+1>0对一切x R成立},求A B。 3.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。 4.已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,求实数k的取值范围。 5.设A={x ,其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。 6.设全集U={x },集合A={x },B={ x2+px+12=0},且(CUA) B={1,4,3,5},求实数P、q的值。 7.若不等式x2-ax+b<0的解集是{ },求不等式bx2-ax+1>0的解集。 8.集合A={(x,y) },集合B={(x,y) ,且0 },又A ,求实数m的取值范围。 第一单元 集合 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B C B C D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A A D C D A D A B 二、 填空题答案 1.{(x,y) } 2.0, 3.{x ,或x 3} 4.{ } 5. ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集;除去 及{a,b,c}外的所有子集 6.{2,3};{2,3} 7.{ } 8.{1,5,9,11} 9.{等腰直角三角形};{等腰或直角三角形},{斜三角形},{不等边三角形},{既非等腰也非直角三角形}。 10.(1) (A B) (2)[(CUA) (CUB)] ;(3)(A B) (CUC) 三、解答题 1.m=2×3=6 2.{a } 3.a=-1 4. 提示:令f(1)<0 且f(2)<0解得 5.提示:A={0,-4},又A B=B,所以B A (Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1 (Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1 (Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1 综上所述实数a=1 或a -1 6.U={1,2,3,4,5} A={1,4}或A={2,3} CuA={2,3,5}或{1,4,5} B={3,4}(CUA) B=(1,3,4,5),又 B={3,4} CUA={1,4,5} 故A只有等于集合{2,3} P=-(3+4)=-7 q=2×3=6 7.方程x2-ax-b=0的解集为{2,3},由韦达定理a=2+3=5,b=2×3=6,不等式bx2-ax+1>0化为6x2-5x+1>0 解得{x } 8.由A B 知方程组 得x2+(m-1)x=0 在0 x 内有解, 即m 3或m -1。 若 3,则x1+x2=1-m<0,x1x2=1,所以方程只有负根。 若m -1,x1+x2=1-m>0,x1x2=1,所以方程有两正根,且两根均为1或两根一个大于1,一个小于1,即至少有一根在[0,2]内。 因此{m 本质即,f(x)-x=0时有两个根x1,x2,且x1+x2=0 f(x)-x=0可化为 2x^2+bx+a=0(x不等于零)所以 由韦达定理,b=0,a<0. 2.由题意,f(0)=0,所以0必为一不动点 若f(x)还有其他的不动点(m,m),即存在f(m)=m,由f(x)=-f(-x),必有 f(-m)=-f[-(-m)]=-f(m)=-m,所以(-m,-m)也必为f(x)的不动点,所以设除0外f(x)有 a(a为自然数)个大于零的不动点,则必有a个小于零的不动点,共有2a+1个,即奇数个。 类似奇函数的推导,可知偶函数不定,如偶函数f(x)=x^2 有且仅有(0,0),(1,1)这两个不动点,而偶函数f(x)=(1/2)[x^2+1]就只有(1,1)一个不动点。 已知函数f(x)=2x-a/x的定义域为(0,1] (a为实数) 1.当a=-1时,求函数y=f(x)的值域, 2.若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围. 3.函数y=f(x)在x属于(0,1] 上的最大值及最小值,并求出函数最值时X的值 a=-1时,f(x)=2x+1/x,f(x)>=2根号(2x*1/x)=2根号2,当x=根号2/2时取得 当x趋于0时,f(x)趋于无穷大,则f(x)的值域是(2倍根号2,无穷大) 2 f'=2+a/x^2,由题可知,在(0,1]上,f'<0 若a>=0,f'>0,显然不合题意 若a<0,f'单调减,则2+a/1<0,得a<-2 3 f'=2+a/x^2 若a>0,f'>0,f(x)单调增,f(x)没有最小值 若a=0,则f(x)=2x,取不到最小值 若a<0,要使最大值和最小值存在,则有根号(-a/2)<1,既-2 当x=1时,最大值为2-a 当x=根号(-a/2)时,最小值为2根号(-a/2) 设关于x函数f(x)=cos2x-4acosx+2a,其中0≤x≤π/2 ①将f(x)的最小m表示成a的函数m=g(a) ②是否存在实数a,使f(x)>0在[0,2/π]上成立 ③是否存在实数a,使函数f(x)在x∈[0,2/π]上单调递增?若存在,写出所有的a组成的集合,若不存在,说明理由。 1.f(x)=cos2x-4acosx+2a=2cos平方x-4acosx+2a-1=2(cosx-a)平方-2a平方+2a-1 因为0≤x≤π/2,所以0≤cos≤1 所以当0≤a≤1时,m=g(a)=-2a平方+2a-1 当a<0时,m=g(a)=2a-1 当a>1时,m=g(a)=-2a+1 2.由1得0≤a≤1,m=g(a)=-2a平方+2a-1=-2(a-1/2)平方-1/2<0恒成立 a<0时,m=g(a)=2a-1<0恒成立 a>1时,m=g(a)=-2a+1<0恒成立 所以,不存在实数a,使f(x)>0在[0,π/2]上成立 3.任取x1,x2∈[0,π/2],使x1>x2 f(x1)-f(x2)=2cos平方x1-4acosx1-2cos平方x2+4acosx2 =2(cosx1-cosx2)(cosx1+cosx2)-4a(cosx1-cosx2) =[2(cosx1+cosx2)-4a](cosx1-cosx2) 因为cosx在[0,π/2]单调递减,所以cosx1 若要f(x)在[0,π/2]上单调递增,f(x1)>f(x2) 则2(cosx1+cosx2)-4a<0 所以2a>cosx1+cosx2 因为cosx1+cosx2<2,所以2a≥2,a≥1 所以存在 a≥1 使函数f(x)在x∈[0,π/2]上单调递增 第一题 建筑一个容积为8000立方米,深为6米的长方形蓄水池,池壁每平方米的造价为a元,池底每平方米的造价为2a元,把总造价y元表示为底的一边长x米的函数,求函数表达式,并指出其定义域 第二题 某种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税x元(即税率为x%)因此每年销售量将减少(20/3)x万件 (1) 将政府每年对该产品征收的总税金y(万元),表示成x的函数,并指出这个函数的定义域和函数的最大值 (2) 当x属于[4,8]时,求厂家销售金额的最大值 第一题,已知容积V=8000m3,深H=6m,那么底面积则为8000/6,所以底面造价为(8000*2a)/6 又底的一边为X,那么另一边就是8000/(6X).那么总侧面积为{X+[8000/(6X)]}*6.,侧面总造价则是 {X+[8000/(6X)]}*6a。 所以y=[(8000*2a)/6]+{X+[8000/(6X)]}*6a. X的定义域是0 我们可以看到Y的表达式是由底面和侧面两部分构成的,底面积是常数,所以求Y的定义域实际上就是求侧面积的最大值和最小值 求{X+[8000/(6X)]}*6a的最大值和最小值,很显然,没有最大值 其最小值算出来是等于40倍的根号下10,由于字数限制,我在下面给你解释怎么算 匿名2009-01-27 20:42 1.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0,被直线Y=x截得的弦长等于2倍根号7的圆的方程 设圆为(x-a)^2+(y-b)^2=c^2 圆心在直线3x-y=0上所以b=3a 与x轴相切即与y=0只有一个根联立 得(x-a)^2+(3a)^2-c^2=0 转化得x^2-2ax+(10a^2-c^2)=0 △=4a^2-4(10a^2-c^2)=0 c^2=9a^2 圆方程(x-a) ^2+(y-3a)^2=9a^2 将上面的方程和直线y=x再次联立 化简可以得到2x^2-8ax+a^2=0 因为弦长等于2根号7 所以上面的方程一定有2个根设为x1 x2 可以得到(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2 这里y1=x1 y2=x2 就不用解释了继续化简 (x1+x2)^2-4x1x2=0 由韦达定理带入可以求出a^2=1所以a=±1 所以圆的方程就是(x-1)^2+(y-3)^2=9 或者(x+1)^2+(y+3)^2=9 17.(本小题满分9分) 如图,正方体中,棱长为 (1)求证:直线平面 (2)求证:平面平面; 解:(1)连接,所以四边形是平行四边形, (2) 18.(本小题满分9分) 如图,直角梯形OABC位于直线 右侧的图形的面积为。 (1)试求函数的解析式; (2)画出函数的图象。 解:(1)设直线与梯形的交点为D,E。当时 当时, 所以 (2)图象(略) 19.(本小题满分10分) 已知线段AB的端点B的坐标,端点A在圆上运动。 (1)求线段AB的中点M的轨迹; (2)过B点的直线L与圆有两个交点A,B。当OAOB时,求L的斜率。 解:(1)设,由中点公式得 因为A在圆C上,所以 点M的轨迹是以为圆心,1为半径的圆。 (2)设L的斜率为,则L的方程为即 因为CACD,△CAD为等腰直角三角形, 圆心C(-1,0)到L的距离为 由点到直线的距离公式得 17.(本小题满分12分)若 ,求实数的值。 解: 当时,,,,适合条件; 当时,,,,适合条件 从而,或 18.(本小题满分12分)设全集合,,,求,, , 解: 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求, 解:,且 20.(本小题满分12分)已知集合,,且,求实数的取值范围。 解:, 当时,, 当时, 从而,实数的取值范围为 21.(本小题满分12分)已知集合,,,求实数的取值范围 解: 当时,,; 当为单元素集时,, 此时; 当为二元素集时,, 从而实数的取值范围为 22.(本小题满分14分)已知集合,,若,求实数的取值范围。 解:方法1 ,中至少含有一个负数,即方程至少有一个负根。 当方程有两个负根时,,, 当方程有一个负根与一个正根时, 当方程有一个负根与一个零根时, 或或 从而实数的取值范围为 方法2 ,中至少含有一个负数 取全集, 当A中的元素全是非负数时, 所以当时的实数a的取值范围为 从而当时的实数a的取值范围为 sinwx函数的递增区间为(-0.5pai/w,0.5pai/w),题上的区间在在各区间内, -0.5pai/w<=-pai/3 0.5pai/w>=pai/4 解 w<=3/2 w<=2 题意w>0 0 答案:A (你给的区间有问题吧?) A 一、选择题 1.下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0} ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 2.集合{1,2,3}的真子集共有( ) (A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个 3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有( ) (A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个 4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是( ) (A)CUA CUB (B)CUA CUB=U (C)A CUB= (D)CUA B= 5.已知集合A={ } B={ }则A =( ) (A)R (B){ } (C){ } (D){ } 6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{ }是有限集,正确的是( ) (A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3) (C)只有(2) (D)以上语句都不对 7.已知A={1,2,a2-3a-1},B={1,3},A {3,1}则a等于( ) (A)-4或1 (B)-1或4 (C)-1 (D)4 8.设U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则(CUA) (CUB)=( ) (A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4} 9.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S X=( ) (A)X (B)T (C) (D)S 10.设A={x },B={x },若A B={2,3,5},A、B分别为( ) (A){3,5}、{2,3} (B){2,3}、{3,5} (C){2,5}、{3,5} (D){3,5}、{2,5} 11.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为( ) (A)R (B) (C){ } (D){ } (A)P Q (B)Q P (C)P=Q (D)P Q= 12.已知P={ },Q={ ,对于一切 R成立},则下列关系式中成立的是( ) 13.若M={ },N={ Z},则M N等于( ) (A) (B){ } (C){0} (D)Z 14.下列各式中,正确的是( ) (A)2 (B){ } (C){ } (D){ }={ } 15.设U={1,2,3,4,5},A,B为U的子集,若A B={2},(CUA) B={4},(CUA) (CUB)={1,5},则下列结论正确的是( ) (A)3 (B)3 (C)3 (D)3 16.若U、 分别表示全集和空集,且(CUA) A,则集合A与B必须满足( ) (A) (B) (C)B= (D)A=U且A B 17.已知U=N,A={ },则CUA等于( ) (A){0,1,2,3,4,5,6} (B){1,2,3,4,5,6} (C){0,1,2,3,4,5} (D){1,2,3,4,5} 18.二次函数y=-3x2+mx+m+1的图像与x轴没有交点,则m的取值范围是( ) (A){ } (B){ } (C){ } (D){ } 19.设全集U={(x,y) },集合M={(x,y) },N={(x,y) },那么(CUM) (CUN)等于( ) (A){(2,-2)} (B){(-2,2)} (C) (D)(CUN) 20.不等式 (A){x } (B){x } (C){ x } (D){ x } 二、填空题 1. 在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为 2. 若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x= 3. 若A={x } B={x },全集U=R,则A = 4. 若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是 5. 集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ;非空真子集是 6. 方程x2-5x+6=0的解集可表示为 方程组 7.设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是 8.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13,17,19},又(CUA) (CUB)= ,则A B= 9.设U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则M N= M N= CUM= CUN= CU(M N)= 10.设全集为 ,用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。 (1) (2) (3) 三、解答题 1.设全集U={1,2,3,4},且={ x2-5x+m=0,x U}若CUA={1,4},求m的值。 2.已知集合A={a 关于x的方程x2-ax+1=0,有实根},B={a 不等式ax2-x+1>0对一切x R成立},求A B。 3.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。 4.已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1,另一根大于2,求实数k的取值范围。 5.设A={x ,其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。 6.设全集U={x },集合A={x },B={ x2+px+12=0},且(CUA) B={1,4,3,5},求实数P、q的值。 7.若不等式x2-ax+b<0的解集是{ },求不等式bx2-ax+1>0的解集。 8.集合A={(x,y) },集合B={(x,y) ,且0 },又A ,求实数m的取值范围。 第一单元 集合 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B C B C D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A A D C D A D A B 二、 填空题答案 1.{(x,y) } 2.0, 3.{x ,或x 3} 4.{ } 5. ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集;除去 及{a,b,c}外的所有子集 6.{2,3};{2,3} 7.{ } 8.{1,5,9,11} 9.{等腰直角三角形};{等腰或直角三角形},{斜三角形},{不等边三角形},{既非等腰也非直角三角形}。 10.(1) (A B) (2)[(CUA) (CUB)] ;(3)(A B) (CUC) 三、解答题 1.m=2×3=6 2.{a } 3.a=-1 4. 提示:令f(1)<0 且f(2)<0解得 5.提示:A={0,-4},又A B=B,所以B A (Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1 (Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1 (Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1 综上所述实数a=1 或a -1 6.U={1,2,3,4,5} A={1,4}或A={2,3} CuA={2,3,5}或{1,4,5} B={3,4}(CUA) B=(1,3,4,5),又 B={3,4} CUA={1,4,5} 故A只有等于集合{2,3} P=-(3+4)=-7 q=2×3=6 7.方程x2-ax-b=0的解集为{2,3},由韦达定理a=2+3=5,b=2×3=6,不等式bx2-ax+1>0化为6x2-5x+1>0 解得{x } 8.由A B 知方程组 得x2+(m-1)x=0 在0 x 内有解, 即m 3或m -1。 若 3,则x1+x2=1-m<0,x1x2=1,所以方程只有负根。 若m -1,x1+x2=1-m>0,x1x2=1,所以方程有两正根,且两根均为1或两根一个大于1,一个小于1,即至少有一根在[0,2]内。 因此{m 本质即,f(x)-x=0时有两个根x1,x2,且x1+x2=0 f(x)-x=0可化为 2x^2+bx+a=0(x不等于零)所以 由韦达定理,b=0,a<0. 2.由题意,f(0)=0,所以0必为一不动点 若f(x)还有其他的不动点(m,m),即存在f(m)=m,由f(x)=-f(-x),必有 f(-m)=-f[-(-m)]=-f(m)=-m,所以(-m,-m)也必为f(x)的不动点,所以设除0外f(x)有 a(a为自然数)个大于零的不动点,则必有a个小于零的不动点,共有2a+1个,即奇数个。 类似奇函数的推导,可知偶函数不定,如偶函数f(x)=x^2 有且仅有(0,0),(1,1)这两个不动点,而偶函数f(x)=(1/2)[x^2+1]就只有(1,1)一个不动点。 已知函数f(x)=2x-a/x的定义域为(0,1] (a为实数) 1.当a=-1时,求函数y=f(x)的值域, 2.若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围. 3.函数y=f(x)在x属于(0,1] 上的最大值及最小值,并求出函数最值时X的值 a=-1时,f(x)=2x+1/x,f(x)>=2根号(2x*1/x)=2根号2,当x=根号2/2时取得 当x趋于0时,f(x)趋于无穷大,则f(x)的值域是(2倍根号2,无穷大) 2 f'=2+a/x^2,由题可知,在(0,1]上,f'<0 若a>=0,f'>0,显然不合题意 若a<0,f'单调减,则2+a/1<0,得a<-2 3 f'=2+a/x^2 若a>0,f'>0,f(x)单调增,f(x)没有最小值 若a=0,则f(x)=2x,取不到最小值高一数学30道大题加答案
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