2003年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.函数数sincossscossins的最小正周期数________．2.若数是方程coss数䁠的解，其中th，则数________．3.在等差数列中，数，数香，则ssǤǤǤs䁠t数________．4.在极坐标系中，定点䁠h，点在直线cosssin数t上运动，当线段最短时，点的极坐标是________．5.在正四棱锥香ꀀ香中，若侧面与底面所成二面角的大小为t，则异面直线与ꀀ所成角的大小等于________．（结果用反三角函数值表示）6.设集合数，数香s൅t，则集合且数________．7.ꀀ中，若sinsinsinꀀ数，则cosꀀ数________．8.若首项为䁠，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项䁠，公比的一组取值可以是䁠h数________．9.某国际科研合作项目成员由䁠䁠个美国人、个法国人和个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．（结果用分数表示）10.方程slg数䁠的根________．（结果精确到tǤ䁠）11.已知点th，th香，ꀀsht，其中的为正整数．设表示ꀀ外lim接圆的面积，则数________．12.给出问题：䁠、是双曲线香数䁠的焦点，点在双曲线上．若点到焦点䁠t䁠的距离等于，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为，由䁠香数，即香数，得数䁠或䁠．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.下列函数中，既为偶函数又在th上单调递增的是()A.数tanB.数cos香C.数sin香D.数cot14.在下列条件中，可判断平面与平行的是（）A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等C.，是内两条直线，且，D.，是两条异面直线，且，，，试卷第1页，总7页 15.、、、、、均为非零实数，不等式ss൅t和s䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠s൅t的解集分别为集合和，那么“数数”是“数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.是定义在区间香h上的奇函数，其图象如图所示：令数s，则下列关于函数的叙述正确的是A.若t，则函数的图象关于原点对称B.若数香䁠，香t，则方程数t有大于的实根C.若t，数，则方程数t有两个实根D.若䁠，，则方程数t有三个实根三、解答题（共7小题，满分86分）)17.已知复数䁠数cos香，数sins，求䁠的最大值和最小值．18.已知平行六面体ꀀ香香䁠䁠ꀀ䁠香䁠中，䁠平面ꀀ香，数，香数．若香ꀀ，直线香与平面ꀀ香所成的角等于t，求平行六面体ꀀ香香䁠䁠䁠䁠ꀀ䁠香䁠的体积．19.已知数列（为正整数）是首项是䁠，公比为的等比数列．（1）求和：ꀀt香ꀀ䁠sꀀ，ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀ；䁠䁠（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．试卷第2页，总7页 20.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽米，要求通行车辆限高Ǥ米，隧道全长Ǥ千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高为米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高不小于米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为数，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到tǤ䁠米）21.在以为原点的直角坐标系中，点h香为的直角顶点．已知数，且点的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆香ss数t关于直线对称的圆的方程；（3）是否存在实数，使抛物线数香䁠上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围．22.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有s数成立．䁠函数数是否属于集合？说明理由；设函数数൅t，且䁠的图象与数的图象有公共点，证明：数；若函数数sin，求实数的取值范围．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2003年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.3.香4.，5.arctan6.䁠7.香䁠8.䁠h（䁠൅t，t䁠的一组数）䁠䁠9.䁠t10.Ǥ11.12.数䁠二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.C14.D15.D16.B三、解答题（共7小题，满分86分）17.解：䁠数䁠ssincosscos香sin数䁠ssincosscos香sin数ssincos䁠数ssin故䁠的最大值为，最小值为．18.解：连接香，因为䁠平面ꀀ香，䁠香ꀀ，所以ꀀ香．在ꀀ香中，ꀀ数，ꀀ香数数．所以香数．又因为直线香与平面ꀀ香所成的角等于t，䁠䁠所以䁠香数t，于是䁠数香数．试卷第4页，总7页 故平行六面体ꀀ香香䁠䁠ꀀ䁠香䁠的体积为ꀀ香䁠数．19.解：（1）ꀀt香ꀀ䁠sꀀ数香s数䁠香ꀀt香ꀀ䁠s䁠䁠䁠䁠䁠䁠ꀀ香ꀀ数香s香数䁠香；䁠䁠䁠䁠䁠（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为䁠，公比为的等比数列，则ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ数䁠香，䁠s䁠䁠为正整数．证明：ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ数ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香䁠s䁠䁠䁠䁠ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ数ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ䁠䁠䁠数䁠香．䁠20.解：（1）如图建立直角坐标系，则点䁠䁠hǤ，椭圆方程为s数䁠．将数数与点坐标代入椭圆方程，得数，此时此时数数Ǥ因此隧道的拱宽约为Ǥ米；（2）由椭圆方程s数䁠，䁠䁠Ǥ根据题意，将䁠䁠hǤ代入方程可得s数䁠．䁠䁠Ǥ䁠䁠Ǥ因为s即且数，数，所以数数当取最小值时，䁠䁠Ǥ䁠有数数，得数䁠䁠，数试卷第5页，总7页 此时数数䁠Ǥ䁠，数Ǥ故当拱高约为Ǥ米、拱宽约为䁠Ǥ䁠米时，土方工程量最小．21.解：（1）设数䁠hꀀ，则由数，数t䁠sꀀ数䁠tt即䁠香ꀀ数t䁠数䁠数香得，或．ꀀ数ꀀ数香∵数s数䁠shꀀ香，∴ꀀ香൅t，得ꀀ数，∴数h；（2）由数䁠th，得䁠th，䁠于是直线方程：数．由条件可知圆的标准方程为：香ss䁠数䁠t，得圆心h香䁠，半径为䁠t．设圆心h香䁠关于直线的对称点为hs香䁠香数t则，s䁠数香香数䁠得，数∴所求圆的方程为香䁠s香数䁠t；（3）设䁠h䁠，h为抛物线上关于直线对称两点，䁠s䁠s香数t则，䁠香数香䁠香䁠s数香得香䁠数香即䁠，为方程ss数t的两个相异实根，香于是由数香൅t，得൅．∴当൅时，抛物线数香䁠上总有关于直线对称的两点．22.解：䁠对于非零常数，s数s，数．试卷第6页，总7页 因为对任意，s数不能恒成立，所以数.因为函数数൅t且䁠的图象与函数数的图象有公共点，数h所以方程组：有解，消去得数，数h显然数t不是方程数的解，所以存在非零常数，使数．于是对于数有s数s数数数故数.当数t时，数t，显然数t．当t时，因为数sin，所以存在非零常数，对任意，有s数成立，即sins数sin．因为t，且，所以，s，于是sin香䁠h䁠，sins香䁠h䁠，故要使sins数sin．成立，只有数䁠，当数䁠时，sins数sin成立，则数，．当数香䁠时，sin香数香sin成立，即sin香s数sin成立，则香s数，，即数香香䁠，．综合得，实数的取值范围是数h．试卷第7页，总7页