2010年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.（北京卷理）集合集合晦䁧댳䁪，集合晦댳香，则集䁧A.合䁢B.合䁧䁢䁢C.合晦䁧댳䁪D.合晦䁧䁪2.在等比数列合中，＝，公比．若＝䁪，则＝（）A.香B.䁧C.D.3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为䁧A.B.C.D.4.名学生和位老师站成一排合影，则位老师不相邻的排法种数为()A.B.C.D.香香5.极坐标方程䁧䁧集䁧䁧䁧表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线6.若，是非零向量，“”是“函数䁧集䁧䁧为一次函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件䁖䁧，7.设不等式组表示的平面区域为，若指数函数䁖集的图象上存䁪䁖䁪䁧，䁪䁖香䁧在区域上的点，则的取值范围是（）A.䁧䁢䁪B.䁢䁪C.䁧䁢D.䁪䁢试卷第1页，总8页,8.如图，正方体ܤܤ的棱长为，动点、在棱ܤ上，动点，分别在棱，上，若集，集，集䁖，集㘮（，䁖，㘮大于零），则四面体的体积（）A.与，䁖，㘮都有关B.与有关，与䁖，㘮无关C.与䁖有关，与，㘮无关D.与㘮有关，与，䁖无关二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.在复平面内，复数对应的点的坐标为________．10.在ܤ中，若＝，集䁪，集，则＝________．䁪11.从某小学随机抽取䁧䁧名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知集________．若要从身高在䁧䁢䁪䁧，䁪䁧䁢䁧，䁧䁢䁧内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在䁧䁢䁧内的学生中选取的人数应为________．12.如图，的弦，ܤ的延长线交于点．若ܤ，ܤ集，ܤ集，集䁪，则集________；集________．䁖䁖13.已知双曲线集的离心率为，焦点与椭圆集的焦点相同，那么双香曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．试卷第2页，总8页,14.如图放置的边长为的正方形ܤ沿轴滚动．设顶点䁧䁢䁖的轨迹方程是䁖集䁧，则䁧的最小正周期为________；䁖集䁧在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数䁧集cossincos．（1）求䁧的值；䁪（2）求䁧的最大值和最小值．16.如图，正方形ܤ和四边形所在的平面互相垂直，，，ܤ集，集集．（1）求证：平面ܤ；（2）求证：平面ܤ；（3）求二面角ܤ的大小．17.某同学参加䁪门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，䁧，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为䁧䁪（1）求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率；（2）求数学期望．18.已知函数䁧集ln䁧䁧䁧．䁧当集时，求曲线䁖集䁧在点（䁢䁧）处的切线方程；䁧求䁧的单调区间．19.在平面直角坐标系䁖中，点ܤ与点䁧䁢关于原点对称，是动点，且直线与ܤ的斜率之积等于．䁪䁧Ⅰ求动点的轨迹方程；试卷第3页，总8页,䁧Ⅱ设直线和ܤ分别与直线＝䁪交于点，，问：是否存在点使得ܤ与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20.已知集合集合晦集䁧䁢䁢䁢䁢合䁧䁢䁢集䁢䁢䁢䁧对于集（䁢,…,），ܤ集（䁢,…,），定义与ܤ的差为ܤ集䁧晦晦䁢晦晦,…晦晦；与ܤ之间的距离为䁧䁢ܤ集集晦晦䁧晦证明：，ܤ，，有ܤ，且䁧䁢ܤ集䁧䁢ܤ；䁧晦晦证明：，ܤ，，䁧䁢ܤ，䁧䁢，䁧ܤ䁢三个数中至少有一个是偶数䁧晦晦晦设，中有䁧个元素，记中所有两元素间距离的平均值为䁧．证明：䁧．䁧试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2010年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.B2.a＝aaaaa＝aqqq䁪q＝aq䁧，因此有m＝11䁪3.C4.A5.C6.B7.A8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.䁧䁢10.11.䁧䁧䁪䁧,䁪12.,13.䁧䁢䁧，䁧䁢䁧,䁖集䁪14.,三、解答题（共6小题，满分80分）䁪香15.解：（1）䁧集cossincos集集；䁪䁪䁪䁪（2）䁧集䁧cos䁧coscos集䁪coscos集䁪䁧cos，，䁪䁪因为cos䁢，所以当cos集时，䁧取最大值；当cos集时，取最小值．䁪䁪16.解：证明：（1）设与ܤ交于点，因为，且集，集集，所以四边形为平行四边形．所以．试卷第5页，总8页,因为平面ܤ，平面ܤ，所以平面ܤ．（2）因为正方形ܤ和四边形所在的平面互相垂直，，所以平面ܤ．如图，以为原点，建立空间直角坐标系䁖㘮．则䁧䁧䁢䁧䁢䁧，䁧䁢䁢䁧，䁧䁢䁧䁢䁧，䁧䁧䁢䁧䁢，䁧䁢䁢．所以集䁧䁢䁢，ܤ集䁧䁧䁢䁢，集䁧䁢䁧䁢．所以ܤ集䁧集䁧，集䁧集䁧．所以ܤ，，所以平面ܤ（3）由（2）知，集䁧䁢䁢，是平面ܤ的一个法向量，设平面ܤ的法向量集䁧䁢䁖䁢㘮，则ܤ集䁧，ܤ集䁧．䁧䁢䁖䁢㘮䁧，䁧，䁧集䁧即䁧䁢䁖䁢㘮䁧䁧䁢，集䁧所以集䁧，且㘮集䁖．令䁖集，则㘮集．所以集䁧䁧䁢䁢，从而䁪cos䁧䁢集晦晦晦晦集因为二面角ܤ为锐角，所以二面角ܤ为．17.解：事件表示“该生第门课程取得优异成绩”，集，，䁪．由题意可知䁧集，䁧集，䁧䁪集䁧晦由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“集䁧”是对立的，∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是香䁧集䁧集集（2）由题意可知，䁧集䁧集䁧䁪集䁧䁧集，䁧集䁪集䁧䁪集集䁪整理得集，集．∵集䁧集集䁧䁪䁧䁪䁧䁪试卷第6页，总8页,集䁧䁧䁧䁧䁪集集䁧集集䁧集䁧䁧集䁧集䁪集香∴集䁧䁧集䁧䁧集䁧集䁪䁧集䁪集18.解：䁧当集时，䁧集ln䁧，∴െ䁧集，䁪由于䁧集ln䁧䁢െ䁧集，∴曲线䁖集䁧在点（䁢䁧）处的切线方程为䁪䁖ln集䁧，即䁪䁖ln䁪集䁧.െ䁧䁧集䁧，当集䁧时，െ䁧集，在区间䁧䁢䁧上，െ䁧䁧，在区间䁧䁧䁢上，െ䁧댳䁧，∴䁧的单调递增区间为䁧䁢䁧，单调递减区间为䁧䁧䁢；䁧当䁧댳댳时，െ䁧集集䁧，得集䁧，集䁧，െെ∴在区间䁧䁢䁧和䁧，上，䁧䁧，在区间䁧䁧䁢上，䁧댳䁧，即函数䁧的单调递增区间为䁧䁢䁧和䁧，，单调递减区间为䁧䁧䁢；当集时，െ䁧集，䁧的递增区间为䁧䁢，䁧当时，由െ䁧集集䁧，得集䁧，集䁧䁢䁧，െെ∴在区间䁧䁢和䁧䁧䁢上，䁧䁧，在区间䁧，䁧上，䁧댳䁧，即函数䁧的单调递增区间为䁧䁢和䁧䁧䁢，单调递减区间为䁧，䁧．19.（1）因为点ܤ与䁧䁢关于原点对称，所以点ܤ得坐标为䁧䁢．设点的坐标为䁧䁢䁖䁖䁖集䁪化简得䁪䁖＝䁧．故动点轨迹方程为䁪䁖＝䁧（2）若存在点使得ܤ与的面积相等，设点的坐标为䁧䁧䁢䁖䁧则晦晦晦ܤ晦sinܤ集晦晦晦晦sin．因为sinܤ＝sin，晦晦晦晦所以集晦晦晦ܤ晦试卷第7页，总8页,晦䁧晦晦䁪䁧晦所以集晦䁪䁧晦晦䁧晦即䁧䁪䁧＝晦䁧晦，解得䁧集䁪䁪䁪因为䁧䁪䁖䁧＝，所以䁖䁧集香䁪䁪故存在点使得ܤ与的面积相等，此时点的坐标为䁧䁢．䁪香20.解：䁧设集䁧䁢,…,，ܤ集䁧䁢,…,，集䁧䁢,…,因，䁧，，故晦晦䁧，，䁧集䁢,…,䁧，，即ܤ集䁧晦晦䁢晦晦,…,晦晦又，，䁧䁧䁢，集，，…，当集䁧时，有晦晦晦晦晦晦集晦晦；当集时，有晦晦晦晦晦晦集晦䁧䁧集晦晦故䁧䁢ܤ集晦晦集䁧䁢ܤ集䁧设集䁧䁢,…,，ܤ集䁧䁢,…,，集䁧䁢,…,记䁧䁢ܤ集，䁧䁢集⸹，䁧ܤ䁢集〮记集䁧䁧䁢䁧,…,䁧，由第一问可知：䁧䁢ܤ集䁧䁢ܤ，集䁧䁢ܤ集䁧䁢集䁧䁢集䁧䁢集⸹䁧ܤ䁢集䁧ܤ䁢集〮即晦晦中的个数为，晦晦中的个数为⸹，䁧集䁢,…,设是使晦晦集晦晦集成立的的个数，则有〮集⸹，由此可知，，⸹，〮不可能全为奇数，即䁧䁢ܤ，䁧䁢，䁧ܤ䁢三个数中至少有一个是偶数．䁧䁪显然中会产生个距离，也就是说，其中表示中每两个元素距离的总和．分别考察第个位置，不妨设中第个位置一共出现了个，那么自然有个䁧，因此在这个位置上所产生的距离总和为䁧，䁧集䁢,…,，那么个位置的总和即试卷第8页，总8页