2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题1.已知集合，，则.答案：解析：由集合，，∴.2.已知是虚数单位，则复数的实部是________.答案：解析：，则实部为.3.已知一组数据的平均数为，则的值是.答案：解析：由可知.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是.答案：解析：总事件数为，满足条件的事情有，，，为共种，则点数和为的概率为.5.右图是一个算法流程图，若输出值为，则输入的值是________. 答案：解析：由题可知当时得，则.6.在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是.答案：解析：由得渐近线方程为，又，则，，，得离心率.7.已知是奇函数，当时，，则的值是.答案： 解析：是奇函数，当时，，则.8.已知，则的值是________.答案：解析：因为，由，解得.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是.答案：解析：记此六角螺帽毛坯的体积为，正六棱柱的体积为，内孔的体积为正六棱柱的体积为，则，所以.10.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是.答案：解析： 因为，将函数的图象向右平移个单位长度得，则的对称轴为，，即，，时，，时，，所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是.11.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________.答案：解析：因为的前项和，当时，，当时，，所以，从而有.12.已知，则的最小值是.答案：解析：，故，当且仅当，即，时，取等号.所以.13.在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是. 答案：解析：由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故，，故，故.在中，；在中，由正弦定理得，即.14.在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________.答案：解析：如图，作所在直径，交于点，则：∵，，∴，为垂径.要使面积最大，则位于两侧，并设，计算可知，故，，故，令，，，记函数，则， 令，解得（舍去）显然，当时，，单调递减；当时，，单调递增；结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是.（注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式）二、解答题15.在三棱柱中，，平面，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.答案：见解析解析： （1）因为分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，面，所以，又因为，，面，面，所以面，因为面，所以平面平面.16.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值.答案：见解析解析：（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此.（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以 ，因为，所以，故.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）.经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式.己知点到的距离为米.（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）.桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？答案：（1）桥的长度为米；（2）为米时，桥墩与的总造价最低.解析：（1）过，分别作的垂线，垂足为，，则.令，得，所以，. （2）设，则，由得.总造价，因为，所以令，得或，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，当时，取最小值，造价最低.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标.答案：见解析解析：（1）的周长. （2）由椭圆方程得，设点，则直线方程为，令得，即，，，即的最小值为.（3）设到直线的距离为，到直线的距离为，若，则，即，由（1）可得直线方程为，即，所以，.由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，所以，即或.当时，直线为，即，联立可得，即或，所以或.当时，直线为，即，联立可得，，所以无解.综上所述，点坐标为或.19.已知关于的函数，与（，）在区间上恒有. （1）若，，，求的表达式；（2）若，，，，求的取值范围；（3）若，，，，求证：.答案：见解析解析：（1）由得.又，，所以，所以，函数的图像为过原点，斜率为的直线，所以.经检验：符合题意.（2），设，则，，所以当时，时.由，得当时，在上递增，所以，所以.当时，，即，，.综上，.（3）因为，所以，所以函数的图像在处的切线为，可见直线为函数的图像在处的切线，又因为 由函数的图像可知，当在区间上恒成立时，，又由得，设方程的两根为，，则，，∴，令，则，由图像可知.设，则，所以当时，，单调递减，所以，故，即.20.已知数列的首项，前项和为.设与是常数.若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.（1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.答案：见解析；解析：（1）时，，所以.（2）,， 因此.，.从而.又，，，.综上，.（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，则，由，，则，令，则，时，，由可得，则，即，此时唯一，不存在三个不同的数列；时，令，则，则，①时，则同理不存在三个不同的数列；②时，，无解，则，同理不存在三个不同的数列；③时，，则，同理不存在三个不同的数列；④即时，，有两解，，设，，，则，则对任意，或或；此时，，均符合条件， 对应，，，则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，.